不定积分习题

第一类有理积分

主要方法

• 放入分子
• 放入分子的部分
• 放入分母
• 放入分母的部分
• 特殊构造
  |—商的导数求积分部分
  |—两个函数相乘求导$e^x$
  |—三角函数构造$\tan x$
• 最后复习一下一些特殊的积分公式

  放入分子

• 这一中方法比较基础。
• 如果是放入分子的，那么必然是如下形式的$\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx$
• 这样就能得到$\int \frac{df(x)}{f(x)}$

• 所以先看一下分母求导的结果有没有可能等于分子，如果是，那么就可以用这种方法

  例题

  $$\int \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt[3]{\sin x-\cos x}}\,dx$$

  放入分子的部分

• 这个通常出现在三角函数中，因为这样可以把所有三角函数化程同名。

• 然后放入时注意一下和分子的形式要对上。

  例题

  $$\int \frac{\sin x\cos x^3}{1+\cos x^2}\,dx$$
• 这题直接放入$\sin x$还不行，因为要注意一下分母的形式。
  所以注意到可以凑出$\sin 2x$，这样放入时形式就一样了

放入分母

• 放入分母的实际上是这种形式$\int f'(x)f(x)\,dx$
• 然后被$f’(x)$正好是分数的形式，看起来就像分式罢了。
• 所以记得先看看分子求导是否可能是一个分式，比如$\ln x$或者是$\sqrt{x^2-1}$这种形式的式子
• 所以也有可能是分子的导数会穿一部分到分子来，所以建议是先对分子的部分进行求导

• 主要问题是，出题人会把求导结果化到最简，导致看不出来

  例题

  1. $$\int \frac{\sqrt{\ln(x+\sqrt{1+x^2})+1}}{\sqrt{1+x^2}}\,dx$$
  2. $$\int\frac{e^{\sqrt{1+\sin x}}\cos x}{\sqrt{1+\sin x}}\,dx$$

     放入分母的部分

• 这一种情况通常是在含有$\ln x$和$\frac{1}{x}$时使用，因为可以把$\frac{1}{x}$放入。
  目前只发现这一种情况可以用这个来解决

例题

$$\int \frac{\ln x^2}{x(1+\ln x^2)}\,dx$$

特殊构造

• 比较难想到，但是遇到以后下次就有概率会写

  商的导数求积分部分

• 这一种之前做过一次，可以看一下分部积分的商的导数求积分部分。

• 传送门：分步积分笔记

两个函数相乘导数的积分

• 实际上，这个是$\int e^{ax}f(x)\,dx$
  然后可以被转化为$\int e^{ax}(ah(x)+h'(x))\,dx$
  所以是$e^{ax}$和别的函数的乘积得到的，通常也只有$e^{ax}$能有这种特殊做法。

为什么只有$e^{ax}$有这个性质

• $e^{ax}$求导有不变性，这样求导了以后才会出现这种情况，所以只有$e^{ax}$才应当考虑有无这种特殊解法，其余的直接计算就好了，不要想那么多

识别方法：

1. 观察结构：被积函数通常包含指数函数$e^{ax}$与另一个函数f(x)的乘积。
2. 分析 $f(x)$：尝试将 $f(x)$拆分为两部分，其中一部分是某个函数 $h(x)$，另一部分是其导数 $h’(x)$（或 $ah(x)+h’(x)$）。常见的线索包括：

• $f(x)$ 为有理函数或三角函数，且分子或分母具有导数的特征。
• 通过经验猜测$h(x)$的形式.

1. 验证：对猜想的 $h(x)$ 求导，检查是否满足 $f(x)=ah(x)+h’(x)$

例题：

$$\int \frac{(1+\sin x)e^x}{1+\cos x}\,dx$$

发现有$e^{ax}$考虑一下是否可以这么做，那么先计算前面能否拆成$f(x)=ah(x)+h’(x)$，计算得到:$(\frac{\sin x}{1+\cos x})'=\frac{1}{(1+\cos x)}$
所以这么拆分是合法的。
最后得到：

$$\frac{e^x \sin x}{1+\cos x}+C$$

此外，还有一题和这个思路十分类似：$\int \frac{\cos x^2-\sin x}{\cos x(1+e^{\sin x}\cos x)}\,dx$
注意到：$(e^{\sin x}\cos x)'=\cos x^2-\sin x$
所以可以把分子放入进行计算，这里依然是$e^{ax}$的性质。此外放入以后发现少了一个$e^{\sin x}$，那么再加上一个$e^{\sin x}$再$dx$里面，正好使得分母多了一个$e^{\sin x}$，那么换元一下就是有理函数的积分了

总结：遇到$e^{ax}$，求导一下总是有用的，能简化计算。

余正弦化正切

• 遇到这么一种情况，有$\sin x$和$\cos x$，但是表现出的却是加法的形式，无法把其中一部分提取出来，那么这时我们就应该考虑一下是不是可以化成$\tan x$来计算。

例题

1.

$$\int \frac{dx}{\sin x^2+2\cos x^2}$$

• 这里无法采用上述提及的所有方法，于是我们采用上下同时除以$\cos x^2$的方法来计算，得到有关$\sec x^2$和$\tan x^2$的式子，这样就可以计算了。

2.$\int \frac{x+\sin x\cos x}{(\cos x-x\sin x)^2}\,dx$

• 注意到下面部分的导数并非上半部分，上半部分也不能被提取，那么考虑能否转换为$\tan x$和$\sec x$的式子，于是先提取一个$\cos x$，得到：$\int \frac{x\sec x+\tan x}{(1-x\tan x)^2}\,dx$
• 接着就发现下面的导数等于上面部分了，那么就好做了。

特殊积分公式复习

• 首先是特殊的三角公式 $$\int \sec x\,dx=ln|\sec x+\tan x|+C$$ $$\int \csc x\,dx= ln|\csc x-\cot x|+C$$
• 接下来是裂项公式 $$\int \frac{1}{x^2-a^2} \, dx = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C$$ $$\int \frac{1}{a^2-x^2} \, dx = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{a+x}{a-x}\right| + C$$ (要是记不住这个好像也可以直接当有理函数来做？)

• 最后是反三角式

  $$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} \, dx = \arcsin\frac{x}{a} + C$$ $$\int \frac{1}{x^2+a^2} \, dx = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$$

  这一个只有两种情况，剩下的老老实实进行$\sec x$和$\tan x$代换
  上下其实都会消去一个$\frac{1}{a}$但是下面那个是二次式子，所以就剩下了一个$\frac{1}{a}$.

  额外提醒

• 注意$\frac{1}{\cos x}$和$\sec x$的转换，如果只是单出现一个，那么就转换成没有分数的式子

• 注意一下同时含有$\tan x\text{和}\sec x$的分式，可能需要展开消去部分$\cos x$来简化计算
• 需不需要展开计算看你是否可以消去

第二类换元积分

主要方法

• 第二类换元积分开始和有理积分接近，所以换元完要考虑一下有理积分。
• 含有根式的只有$\sqrt{a^2-x^2}$有公式，其他老老实实计算！
• 倒带换是把x换为$\frac{1}{t}$，别代换错了
• 要是根式含有$a^x$，那么令整一个根号为t，其他令$a^x$为t

简单根式代换

• 除了$\tan x\text{和}\sec x$的代换以外，还有这么一种情况： $$\int \frac{x^2\,dx}{\sqrt{(x^2-a^2)^3}}$$
• 实际上，里面的次数是没有影响的，因为每一个都可以拆出一个，得到三次式，然后再老老实实计算。
• 其他含有根式的，要么时属于有理函数的积分，有吗就是可以直接按照三角换元做出来。

  例题

$$\int \frac{dx}{(1+x^2)\sqrt{1-x^2}}$$

• 直接把x代换为$\sin t$即可，然后这个式子貌似很熟悉？

  质数函数的代换

• 例如分母含有$e^x$等赘述函数时，直接代换这一部分

• 如果在根式中，代换整个根式

  例题

代换指数函数

• 例如求 $$\int \frac{1}{e^x+e^{2x}}\,dx$$
• 代换$x=\ln t(e^x=t)$得到$\int \frac{1}{t+t^2}\frac{1}{t}\,dt$

• 就能变成有理函数的积分了

  代换整个根式

• 例如求$\int \frac{1}{\sqrt{e^x+1}}\,dx$

• 代换整个根号$x=\ln(t^2-1)\,(t=\sqrt{e^x+1})$得到$\int \frac{1}{t}\frac{2t}{t^2-1}\,dt$
• 从而又被化成了有理函数的积分

倒代换

• 代换为$\frac{1}{t}$，别把$\frac{1}{x}$代换成了t就彳亍

• 然后注意时用在幂函数上，别搞错就彳亍

  例题

• 如计算$\int \frac{1}{x(x^6+1)}\,dx$

• 直接代换得到$$-\int \frac{1}{\frac{1}{t}((\frac{1}{t})^6+1)}\frac{1}{t^2}\,dt=
• \int \frac{t^5}{1+t^6}\,dt$$
• 就变成第一类换元积分了

特殊例子

• 看似一般的根式，凑成可以三角代换的式子

例题

$$\int \sqrt{2x-x^2}\,dx$$

• 先凑一下，得到$\int \sqrt{1-(x-1)^2}\,dx$

• 然后就会计算了

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