定义式

$\Sigma_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i$

几何意义

曲线和x轴，直线$x=a$,$x=b$围成的面积

用定义式写简单积分

例题：

$\int_0^1x^2\,dx$

首先先把$[0,1]$分成n等份，每份是$\frac{1}{n}$
然后按照定义式，取$xi=\frac{i}{n},\xi_i=\frac{i}{n}$
所以：$$\int_0^1x^2\,dx=\Sigma{i=1}^nf(\xii)\Delta x_i=\Sigma{i=1}^n(\frac{i}{n})^2·\frac{1}{n}=\frac{1}{n^3}\Sigma_{i=1}^ni^2=\frac{1}{n^3}\frac{1}{6}(n+1)(2n+1)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}=\frac{1}{3}$$
最后记得对n取一下极限就行了

把极限改写成积分形式

由于积分是可以转化为极限的，那么同样也可以反过来计算。

例题：

这里需要弄清改把什么看作是$\xi_i$,什么又看做是$\Delta x_i$
不过通常是取相同的数

1. $\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\Sigma_{i=1}^n\sqrt{1+\frac{i}{n}}$
然后会有一个非常重要的观察点，必然会有$\frac{i^a}{n^a}$和$\frac{a}{n}$出现，这就说明了你划分为n份的范围和每个区间的取值情况。

所以对上面这个式子进行变形得到： $\lim_{n\to \infty}\Sigma_{i=1}^n\frac{1}{n}\sqrt{1+\frac{i}{n}}$
所以每一份是$\frac{1}{n}$,每个区间的取值是$\frac{i}{n}$.
答案为： $\int_0^1\sqrt{1+x}$
但是就一定要这么理解吗？
实际上，我们也可以把1-2的区间分成n份，那么每一份还是$\frac{1}{n}$,但是每份的取值变成了$1+\frac{i}{n}$。
因此答案也可以是： $\int_1^2\sqrt{x}$

定积分的性质：

性质1

$\int_a^bf(x)\,dx=-\int_b^af(x)$

推论

$\int_a^af(x)=0$

解释

代数角度$\Delta x_i=\frac{b-a}{n}$所以在上下反转时会变号
几何角度：理解为有向的面积
性质2

$\int_a^b\,dx=b-a$

解释

相当于一个矩形的面积，宽是1，长是b-a。
性质3 线性性

此性质又称作不定积分的线性性
即满足数乘和加减法
数乘：

$\int_a^bkf(x)\,dx=k\int_a^bf(x)\,dx$

加减法：

$\int_a^bf(x)\pm g(x)\,dx=\int_a^bf(x)\,dx\pm\int_a^bg(x)\,dx$

实际上，这个性质可以转换为极限的线性性

性质4 拆分定理

$\int_a^bf(x)\,dx=\int_a^cf(x)\,dx+\int_c^bf(x)\,dx$

实际上，这个公式就是把要计算的面积拆成多个部分
当位置不一样的时候，也可以看成是减去一部分

性质5 保号性

不定积分的保号性
如果有在$[a,b]$上$f(x)\geq0$那么

$\int_a^bf(x)\,dx\geq0$

其实这又是极限的保号性

然后就有：
如果$f(x)\geq g(x)$

$\int_a^bf(x)\,dx\geq\int_a^bg(x)\,dx$

性质6

$\int_a^bf(x)\,dx\leq ∫_a^b|f(x)|\,dx\,(a<b)$

要证明这个式子，实际上先计算 $-|f(x)|\leq f(x)\leq|f(x)|$ 各个式子分别积分，然后就能得到上面那个式子了

性质7 估值定理

$m(b-a)\leq ∫_a^bf(x)\,dx \leq M(b-a)$

实际上，这个式子是对 $m\leq f(x)\leq M$
分别积分得到的，也可以理解为算了两个矩形的面积

应用

通常拿来估计值和计算边界情况
试证: $1\leq ∫_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin ⁡x}{x}\,dx \leq \frac{\pi}{2}$
首先先把常数换成积分，然后比较积分内的值就行了

$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{2}{\pi}\leq\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin ⁡x}{x}\,dx \leq \int_0^{\frac{\pi}{2}}\,dx$

这样，问题就被转化为了证明 $\frac{2}{\pi}\leq\frac{\sin ⁡x}{x}\leq 1$

性质8 积分中值定理

$\int_a^bf(x)\,dx=f(\xi)(b-a)\,(\xi\in[a,b])$

用性质7加上介值定理就能证明了，同时$f(\xi)$也被称为函数的平均值

应用

注意要乘上长度即$(b-a)$这一段
例如： $\lim_{x\to\infty} f(x)=1，求 \lim_{n\to\infty} ∫_{n}^{n+2} x·sin(\frac{3}{x})·f(x) dx$
这里直接中值定理得到：

$∫_{n}^{n+2}x\sin(\frac{3}{x}) f(x) dx = (n+2-n)\xi_n sin(\frac{3}{\xi}) f(ξ_n)$

最后就相当于计算关于$\xi$的一个极限