分步积分笔记

核心公式

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

选择原则：”反对幂指三”

优先级从高到低选择 $u$：

反三角函数（$arcsin$,$arccos$, $arctan$等）
对数函数（$\ln x$, $log x$等）
幂函数（$x^n$, $x^2$, $\sqrt{x}$等）
指数函数（$e^x$, $a^x$等）
三角函数（$\sin x$, $\cos x$等）

口诀解释：越靠前的类型越优先选为 $u$，越靠后的类型越优先放入 $dv$。

经典类型与解法

类型1：幂函数 × 三角函数

$\int x^n\cos x\,dx$ 或 $\int x^n\sin x\,dx$

将三角函数放入 $dv$（如 $\cos x\,dx = d(\sin x)$）
通过 $n$ 次分部积分逐次降幂

类型2：幂函数 × 指数函数

$\int x^n e^{ax}\,dx$

将指数函数放入 $dv$（如 $e^{ax}\,dx = \frac{1}{a}d(e^{ax})$）
逐次降幂至 $x^0$

类型3：幂函数 × 对数函数

$\int x^n \ln x\,dx$

将对数函数选为 $u$（$\ln x$ 求导得 $\frac{1}{x}$，可消去 $x$ 幂）
幂函数放入 $dv$

类型4：指数函数 × 三角函数

$\int e^{ax}\sin(bx)\,dx$ 或 $\int e^{ax}\cos(bx)\,dx$

任选其一放入 $dv$（通常选三角函数）
两次分部积分后出现循环，解方程求得原积分

高级技巧与注意事项

技巧1：隐藏的 $dv$

当被积函数为分式时，常将分母或其部分放入 $dv$：

$\int \frac{x\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$

令 $u=\arcsin x$，$dv=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx$，则 $v=-\sqrt{1-x^2}$

技巧2：凑微分调整

对于 $\int \frac{x}{e^{2x}}\,dx$，可改写为 $\int x e^{-2x}\,dx$

令 $u=x$，$dv=e^{-2x}dx$
则 $du=dx$，$v=-\frac{1}{2}e^{-2x}$
代入公式：$-\frac{1}{2}xe^{-2x} + \frac{1}{2}\int e^{-2x}dx$

技巧3：多次分部积分

$\int x^2 e^x\,dx = x^2 e^x - 2\int x e^x\,dx$

需连续使用分部积分，直到幂函数降为常数

技巧4：递推关系

某些积分可建立递推公式：

$\int x^n e^x\,dx = x^n e^x - n\int x^{n-1} e^x\,dx$

技巧5：组合拆分

对于 $\int e^x(\sin x + \cos x)\,dx$，可拆分为两个分部积分，但更简单的方法是观察导数关系：
$d(e^x \sin x) = e^x(\sin x + \cos x)dx$

常见易错点

符号错误：公式中的减号易漏写
$v$ 计算错误：求 $v$ 时积分常数可省略（因最后会抵消）
选择不当：违反”反对幂指三”可能导致积分更复杂
循环处理：$\int e^x \sin x\,dx$ 类问题，移项时注意系数

典型例题

例1：对数函数

$\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}dx = x\ln x - x + C$

例2：反三角函数

$\int \arcsin x\,dx = x\arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx = x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$

例3：循环积分

$\int e^x \sin x\,dx$

第一次：$u=\sin x$，$dv=e^x dx$，得 $e^x \sin x - \int e^x \cos x\,dx$
第二次：对 $\int e^x \cos x\,dx$ 再分部积分
得方程：$I = e^x \sin x - e^x \cos x - I$
解得：$I = \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} + C$

例4：含负指数

$\int \frac{\arctan e^x}{e^{2x}}\,dx = -\frac{1}{2}\int \arctan e^x\,d(e^{-2x})$

令 $u=\arctan e^x$，$dv=d(e^{-2x})$，需注意 $du=\frac{e^x}{1+e^{2x}}dx$

特殊情形处理

只有一类函数：如 $\int \ln x\,dx$，视为 $1\cdot\ln x\,dx$
乘积含三个因子：先组合两个放入 $dv$，或换元简化
分母复杂：考虑整体代换或分部积分后消去分母
定积分：计算时先求原函数，注意上下限代入

还有更重要的一点是
不要被形式迷惑了双眼，$\frac{1}{\cos x^2}$是什么啊？不认识？这就不对了
我认为，直接先表示回去就行了，这下认出来了（
然后看到对$\sec x$求导时不要忘记公式，还在企图自己推导

商的导数逆运算（反向商法则）

在积分中，有时会遇到形如 $\frac{u’v - uv’}{v^2}$ 的被积函数，这正是商函数 $\left( \frac{u}{v} \right)’$ 的导数。因此，可以直接写出原函数 $\frac{u}{v} + C$。

核心识别技巧

分母为平方形式：通常为 $v^2$ 或可化为 $v^2$。
分子为两项之差：且每项均为两个函数的乘积（即 $u’v$ 和 $uv’$）。
找出 $u$ 和 $v$：从分母中猜测 $v$（通常为分母的“一部分”），再根据分子确定 $u$。

一般步骤

设被积函数为 $\frac{P(x)}{Q(x)}$：

尝试将 $Q(x)$ 写成 $v^2$ 的形式（或类似）。
观察 $P(x)$ 是否能表示为 $u’v - uv’$。
若可以，则积分结果为 $\frac{u}{v} + C$。
例题： $\int\frac{xf'(x)-(1+x)f(x)}{x^2e^x}\,dx$

分母：$x^2 e^x = (x e^x)^2 \cdot e^{-x}$？实际上，直接考虑函数 $\frac{f(x)}{x e^x}$ 的导数。
设 $v = x e^x$，则 $v’ = (1+x)e^x$。
设 $u = f(x)$，则 $u’ = f’(x)$。
计算 $\left( \frac{u}{v} \right)’ = \frac{u’v - uv’}{v^2} = \frac{f’(x) \cdot x e^x - f(x) \cdot (1+x)e^x}{(x e^x)^2} = \frac{x f’(x) - (1+x)f(x)}{x^2 e^x}$。
因此，原积分 $= \frac{f(x)}{x e^x} + C$。

常用构造

对于 $\int \frac{f’(x)g(x) - f(x)g’(x)}{g(x)^2} dx$，结果为 $\frac{f(x)}{g(x)} + C$。
对于 $\int \frac{f’(x)g(x) - f(x)g’(x)}{[g(x)]^n} dx$（$n \neq 2$），通常需要调整。