有理函数积分

基本方法

• 凑成能第一类换元积分的式子
  例如$\frac{1}{…}$类的
  部分分式分解

  有理函数积分适用条件

• 1. 有理函数积分
     当被积函数是有理函数（两个多项式的商）时：$\int \frac{Q(x)}{P(x)}\,​dx$
     其中 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 都是多项式。
• 1. 分母可因式分解

部分分式分解是处理有理函数积分的系统方法，特别适用于：

• 分母可明确因式分解
• 没有更简单的特殊技巧
• 需要精确解析表达式

当分母 $Q(x)$ 可以分解为一次因式和不可约二次因式的乘积时：

• 一次因式：$(x-a)$
• 不可约二次因式：$(x^2+px+q)$，其中 $p^2-4q<0$

  具体分解规则

  对于一次因式 $(x-a)^k$：

对应部分为：

$$\frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a)^2}+···+\frac{A_k}{(x-a)^k}$$

对于二次因式 $(x^2+px+q)^m$：

$$\frac{B_1x+C_1}{x^2+px+q}+\frac{B_2x+C_2}{(x^2+px+q)^2}+···+\frac{B_mx+C_m}{(x^2+px+q)^k}$$

但是，在这个部分有一种特殊情况，就是二次式:

$$\int \frac{P(x)}{Q(x)^2}$$

在这里，可以把函数看成$\frac{d}{dx}\frac{Ax+B}{Q(x)}+\frac{C}{Q(x)}$两种方法实际上是等价的，因为最后必然化成一个简单的倒数积分和简单的分数积分$\frac{1}{Q(x)}$。

例子：

• 计算$\int \frac{x^2+1}{(x^2+x+1)^2}\,dx$有两种方式，都能得到答案。
  1.用标准公式计算
  得到: $$\int \frac{x}{(x^2+x+1)^2}\,dx-\int \frac{1}{x^2+x+1}\,dx$$

接着再分别计算前后的积分，前面得到的是一个分式加上一个含$\arctan x$的式子
比较麻烦，不过对于这类题目，我们知道一定能得到第二种简单的方法的式子，所以经过计算
得到:

$$\frac{1}{3}\frac{d}{dx}\frac{x+2}{x^2+x+1}-\frac{4}{3}\int · \frac{1}{x^2+x+1}\,dx$$

这种解法的好处是，得到前半段以后可以直接当作积分结果，不需要额外的处理。

判断步骤

第一步：检查是否为真分式

• 如果 $\deg P(x) \geq \deg Q(x)$：先进行多项式除法（大除法）
• 如果 $\deg P(x) < \deg Q(x)$：直接进行部分分式分解
  就是说最高项次数小就能用这个方法

  第二步：因式分解分母

  将分母 $Q(x)$ 完全分解为：
• 一次因式 $(x-a_i)^{k_i}$
• 不可约二次因式 $(x^2+p_jx+q_j)^{m_j}$

  第三步：确定分解形式

  根据因式分解结果，写出部分分式的一般形式。
  在计算过程中，可以通过给x赋值来快速计算带定值

具体例子分析

例1：$\int \frac{x^3+1}{(x^2+1)^2} dx$

• 分母：$(x^2+1)^2$（二次因式的平方）
• 分解形式：$\frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{Cx+D}{(x^2+1)^2}$

例2：$\int \frac{1}{x(x-1)^2} dx$

• 分母：$x(x-1)^2$（一次因式及其平方）
• 分解形式：$\frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2}$

例3：$\int \frac{x^2+1}{x(x^2+4)} dx$

• 分母：$x(x^2+4)$（一次因式 + 二次因式）
• 分解形式：$\frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+4}$

例4：$\int \frac{x+1}{x^2+4x+6}\,dx$
这个题目看起来和裂项十分相似，但是分母无法因式分解，所以这个方法是不对的。
注意到这里上方的次数正好是分母求导结束后的次数，所以游客能采取分开计算的方法。
这里首先先把上面的分析翻倍，（因为分母的导数是$2x+4$），接下来在加一个2，减一个2外面再配上$\frac{1}{2}$即可。
所以式子变为:$\frac{1}{2} \int \frac{2x+4-2}{x^2+4x+6}\,dx$然后两个部分正好都是我们能计算的第一类换元积分，完成！

• $\int \frac{f’(x)}{f(x)} dx$：直接得到 $\ln|f(x)|$
• $\int \frac{1}{x^2+a^2} dx$：直接得到 $\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}$

个人技巧

• 对于一般的式子，通常是去凑积分，先对其1次项，再分离常数项，这样就能直接得到一个ln积分和一个形如$\frac{p}{t^2+a^2}$的式子了，这个是很好积分的($\arctan x$)
• 遇到三次式子，可能配凑一个$\pm 1$来计算
• 遇到分母次数很高的，考虑倒代换
• 其余的式子，直接展开就行了

三角代换部分

重要公式

当取$\tan x=u$时

$$\begin{cases} \sin x=\frac{u}{\sqrt{1+u^2}} \\ \cos x=\sqrt{1+u^2} \end{cases}$$

当取$\tan \frac{x}{2}=u$时

$$\begin{cases} \sin x=\frac{2u}{1+u^2} \\ \cos x=\frac{1-u^2}{1+u^2} \end{cases}$$

然后不要忘记，第二类换元积分是需要乘上对应的导数的，这个导数是t关于x的函数，乘上的是含有t的导数
之后像前面一样计算就行了。

题型分类

• 只含有一种三角函数的，用第一类换元积分，例如：$\int \frac{1}{\sin x^4}\,dx$
• 上下均有且为一次式的，用上节课的方法代换，例如$\int \frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\,dx$
• 同名三角函数相加，和差化积，例如$\int \frac{1}{\sin x+\sin 3x}\,dx$
• 正常幂(不含分母的)，按奇偶正常拆分
• 分母含有高次项的，拆解1，例如$\int \frac{1}{\sin x\cos x^2}$
  主要是把$\cos x$化成$\tan x$来计算。
  例如：1$\int \frac{dx}{a^2+\sin x^2+b^2+\cos x^2}=\int \frac{\frac{1}{\cos x^2}}{a^2\tan x^2+b^2}\,dx=\int \frac{1+\tan x^2}{a^2\tan x^2+b^2}\,dx$

  根式的代换

重要公式

令$t=\sqrt[n]{ax+b}$
令$t=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$
令$t=\sqrt[mn]{ax+b}$
看含有什么来决定怎么设t
最后反解出x带入其余部分即可。

重要例题根式代换类型

求下面这个函数的积分

$$\int \frac{dx}{\sqrt[n]{(x-a)^{n+1}(x-b)^{n-1}}}\,dx$$

方法：先提取部分，构造类似上面2的一个式子，然后再考虑代换。

$$\text{原式}=\int\frac{1}{(x-a)(x-b)\sqrt[n]{\frac{x-a}{x-b}}}\,dx$$

不过接下来直接解出x再带回比较麻烦，所以考虑直接算出$\frac{dx}{(x-a)(x-b)}$这个部分

$$t^n=\frac{a-b}{(x-b)^2}$$ $$\frac{nt^n\,dt}{t}=\frac{a-b}{(x-b)^2}\,dx$$ $$\frac{n\,dt}{t}=\frac{a-b}{(x-b)^2t^n}\,dx=\frac{a-b}{(x-a)(x-b)}\,dx$$

所以得到原式变为：

$$-\frac{n}{a-b}\sqrt[n]{\frac{x-b}{x-a}}$$

重要例题偶数次幂分数类型

方法是化为平方分之括号内函数的导数
即：

$$\int \frac{f'(x)}{f(x)^2+a}$$

例如：

$$\int \frac{1}{x^4+1}\,dx=\frac{1}{2}\int\frac{1+\frac{1}{x^2}-1}{x^2+\frac{1}{x^2}}=\frac{1}{2}(\int \frac{d x-\frac{1}{x}}{(x-\frac{1}{x})^2+2}+\int \frac{d x+\frac{1}{x}}{(x+\frac{1}{x})^2+2})$$$$=\frac{1}{2\sqrt{2}}\arctan \frac{x-\frac{1}{x}}{\sqrt{2}}-\frac{1}{4\sqrt{2}}\ln|\frac{x^2-\sqrt{2}x+1}{x^2+\sqrt{2}x+1}|$$

所以类似于$\frac{\text{二次}}{\text{四次}}$的式子，理论上都有可能用这种方式解决