第一类换元积分
重要公式
基本积分公式：
不要忘记加C!!!
$\xi \ \delta \ \alpha \ \beta \ \pi \ \theta \ \in \ \notin$
$\Delta$
$\int k \, dx = kx + C$
$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$
$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$
指数函数：
$\int e^x \, dx = e^x + C$
$\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$三角函数：
$\int \sin x \, dx = -\cos x + C$
$\int \cos x \, dx = \sin x + C$
$\int \tan x \, dx = -\ln|\cos x| + C$
$\int \cot x \, dx = \ln|\sin x| + C$
$\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$
$\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C$
$\int \sec x \tan x \, dx = \sec x + C$
$\int \csc x \cot x \, dx = -\csc x + C$
$\int secx\,dx= ln|secx+tanx|+C$
$\int cscx\,dx= ln|cscx-cotx|+C$
反三角函数：
$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \arcsin x + C$
$\int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan x + C$双曲函数：
$\int \sinh x \, dx = \cosh x + C$
$\int \cosh x \, dx = \sinh x + C$特殊积分：
$\int \frac{1}{x^2+a^2} \, dx = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$
$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} \, dx = \arcsin\frac{x}{a} + C$
$\int \frac{1}{x^2-a^2} \, dx = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C$和差化积公式：
$\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$
$\sin A - \sin B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$
$\cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$
$\cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$积化和差公式：
$\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$
$\cos A \sin B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) - \sin(A-B)]$
$\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)]$
$\sin A \sin B = -\frac{1}{2}[\cos(A+B) - \cos(A-B)]$
对部分公式的推导：
$\int \tan x \, dx = -\ln|\cos x| + C$
$\int \tan x \, dx = \int \frac{sinx}{cosx} \,dx = - \int \frac{dcosx}{sinx} \, = -ln|cosx|+ C$
对于 $\int cotx$ 同理
小技巧：
$sinx^m cosx^n$之类的，奇数的话拆一个进去积分，偶数的话用倍角或半角公式
- 在对$\int tanx\,dx$或者$\int secx\,dx$等方法一样，可以类比
奇数如$\int sin^3 \, dx$或者$\int sin^3cosx\,dx$等
比如$\int sinx^3\,dx=-\int sinx^2\,dcosx=-\int(1-cos^2x)\,dcosx$
$=-cosx+\frac{1}{3}cosx^3+C$
偶数如$\int cosx^4\,dx$等
比如$\int cosx^4\,dx=\int(\frac{1+cos2x}{2})^2\,dx=\frac{1}{4}\int1+cos2x^2+2cos2x\,dx$
$=\frac{1}{4}(x+\frac{1}{2}\int cos2x^2\,d2x+\int cos2x\,d2x)+C$
$=\frac{1}{4}(x+sin2x+\frac{1}{2}\int \frac{1+cos4x}{2}\,d2x)+C$
$=\frac{1}{4}(x+sin2x+\frac{1}{8} \int(1+cos4x)\,d4x)+C$
$=\frac{1}{4}(x+sin2x+\frac{1}{8}(4x+sin4x))+C$
$=\frac{3}{8}x+\frac{1}{4}sin2x+\frac{1}{32}sin4x+C$
对于$\frac{…+…}{…}$类的可能是把上面的式子拆成两个分别计算
例如：$\int \frac{1+x}{\sqrt{2-3x^2}}\,dx$
$=\int \frac{1}{\sqrt{2-3x^2}}\,dx+\int \frac{x}{\sqrt{2-3x^2}}\,dx$要熟记各种三角函数的导数和公式以及转换关系：
$secx^2-1=tanx^2$
$cscx^2-1=cotx^2$裂项计算积分
注意，在第一类换元积分中，我们的计算只能处理$\int \frac{1}{ax+b}\,dx$类的积分，所以，要变成分子是分母的导数的倍数的形式，（用$\ln |x|$）来处理每一个分式。通常分母会是一个能因式分解的式子，然后要根据分母的形式来决定分子被写成什么样。
例如:$\int \frac{x}{x^2-3x-4}\,dx$
这里我们首先对下面的式子进行因式分解，得到:$\int \frac{x}{(x-4)(x+1)}\,dx$
接下来我们来根据分母决定分子，应为分母是一次式子，所以分子应该对应常数，所以经过凑得到如下结果：
那么我们就能计算积分啦~
含有 $\sin x + \cos x$ 的分母的积分
对于含有 $\sin x + \cos x$ 的分母的积分，有一种类似于部分分式分解的方法。
对于形如 $\int \frac{a\sin x + b\cos x}{c\sin x + d\cos x} dx$ 的积分，我们可以使用线性组合法，其核心思想是：
将被积函数的分子表示为分母和分母导数的线性组合。
第一类积分实际上就是把前面的放到d里面，再除以对应的倒数即可
对于一般形式 $\int \frac{a\sin x + b\cos x}{c\sin x + d\cos x} dx$：
- 设 $D(x) = c\sin x + d\cos x$，$D’(x) = c\cos x - d\sin x$
- 解方程组：
$$\begin{cases} a=Ac-Bd \
b=Ad+Bc
\end{cases}A\int1dx+B\int \frac{D’(x)}{D(x)}\,dx=Ax+Bln|D(x)|+C$$
对于更复杂的情况，如分母含有 $\sin^2 x$、$\cos^2 x$ 或 $\sin x \cos x$，可以使用：
- 万能代换 $t = \tan\frac{x}{2}$
- 三角恒等式化简
- 配对积分法（如本文开始所示）
- 我的通常做法是看被积函数有什么部分的导数在这里面出现过，然后提取这个部分
例子：$\int \frac{1+lnx}{(xlnx)^3}\,dx$
下面的导数就是上面那一部分，所以直接提取就行了，按照我的逻辑来看，就是除去这个导数
这两种理解方式实际上是一样的
第二类换元积分
第二类换元积分实际上就是把下换成t的代数式子再乘上这个式子的导数
不要忘记乘以对应的倒数!!!
第二类换元积分法常用公式：
- 三角代换：
含有 $\sqrt{a^2-x^2}$，令 $x = a\sin t$，则 $dx = a\cos t\, dt$
$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = \arcsin\frac{x}{a} + C$含有 $\sqrt{a^2+x^2}$，令 $x = a\tan t$，则 $dx = a\sec^2 t\, dt$
$\int \frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}} dx = \ln|x+\sqrt{x^2+a^2}| + C$含有 $\sqrt{x^2-a^2}$，令 $x = a\sec t$，则 $dx = a\sec t\tan t\, dt$
$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}} dx = \ln|x+\sqrt{x^2-a^2}| + C$
- 根式代换：
含有 $\sqrt{ax+b}$，令 $t = \sqrt{ax+b}$，则 $x = \frac{t^2-b}{a}$，$dx = \frac{2t}{a} dt$
含有 $\sqrt[n]{ax+b}$，令 $t = \sqrt[n]{ax+b}$，则 $x = \frac{t^n-b}{a}$，$dx = \frac{nt^{n-1}}{a} dt$
倒代换：
对于形如 $\int \frac{1}{x\sqrt{ax^2+bx+c}} dx$ 等积分，可令 $x = \frac{1}{t}$，则 $dx = -\frac{1}{t^2} dt$欧拉代换：
- 对于 $\sqrt{ax^2+bx+c}$，当 $a>0$ 时，令 $\sqrt{ax^2+bx+c} = t-\sqrt{a}x$
- 当 $c>0$ 时，令 $\sqrt{ax^2+bx+c} = tx+\sqrt{c}$
万能代换：
对于三角有理式 $\int R(\sin x, \cos x) dx$，令 $t = \tan\frac{x}{2}$，则
$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$，$\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$，$dx = \frac{2}{1+t^2} dt$双曲代换：
- 含有 $\sqrt{x^2+a^2}$，令 $x = a\sinh t$，则 $dx = a\cosh t\, dt$
- 含有 $\sqrt{x^2-a^2}$，令 $x = a\cosh t$，则 $dx = a\sinh t\, dt$
- 常用结论：
$\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + C$
$\int \sqrt{a^2+x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2+x^2} + \frac{a^2}{2}\ln|x+\sqrt{x^2+a^2}| + C$
$\int \sqrt{x^2-a^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2} - \frac{a^2}{2}\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}| + C$
重要例题
积分 $\int \frac{1}{x\sqrt{x^2+1}} dx$ 的两种解法
方法一：三角代换
令 $x = \tan t$，则：
- $dx = \sec^2 t\, dt$
- $\sqrt{x^2+1} = \sqrt{\tan^2 t + 1} = \sec t$
代入原积分：
化简：
利用公式：
将变量换回 $x$：
- $\csc t = \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$
- $\cot t = \frac{1}{x}$
最终结果：
方法二：倒代换
令 $x = \frac{1}{t}$，则：
- $dx = -\frac{1}{t^2} dt$
- $\sqrt{x^2+1} = \sqrt{\frac{1}{t^2}+1} = \frac{\sqrt{1+t^2}}{|t|}$
代入原积分（假设 $t>0$，即 $x>0$）：
利用公式：
代入 $t = \frac{1}{x}$：
化简：
最终结果：
结论
两种方法得到相同的结果：
三角代换思路直接，倒代换计算简洁，两种方法都有效解决此类积分问题。
积分$\int x^2(2x-3)^{10}\,dx$的计算
- 直接换元，这里不适合分步积分
令$t=2x-3$来简化计算。然后就发现可以展开这个式子了。
什么时候可以统一结果？
在以下情况下，可以将负号放到三角函数中统一结果：
当三角函数在某个区间内保持相同符号时
对于 $\sqrt{x^2 - a^2}$，使用 $x = a\sec\theta$
对于 $\sqrt{a^2 - x^2}$，使用 $x = a\sin\theta$ 或 $x = a\cos\theta$
对于 $\sqrt{x^2 + a^2}$，使用 $x = a\tan\theta$
选择的角范围要保证：
代换函数是单调的（便于反函数存在）
根号内的表达式化简后不产生绝对值
常见的选择：
$\sqrt{x^2 - a^2}$：$\theta \in (0, \pi/2) \cup (\pi, 3\pi/2)$
$\sqrt{a^2 - x^2}$：$\theta \in (-\pi/2, \pi/2)$
$\sqrt{x^2 + a^2}$：$\theta \in (-\pi/2, \pi/2)$
此外含有$e^x$式子有特殊的计算技巧。
例如：
从而实现第一类换元积分。
